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Table des matières

Applications du Logarithme Népérien
- Questions
- Corrigé

Applications du Logarithme Népérien

Énoncé : Un échantillon initial de 100g de carbone-14, un isotope radioactif utilisé pour la datation au carbone, est étudié. Le carbone-14 se désintègre selon la loi de décroissance radioactive : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ , où est la quantité de carbone-14 restante après un temps , est la quantité initiale, et $\lambda$ est la constante de désintégration. On sait que la demi-vie du carbone-14 est de 5730 ans.

Questions

Déterminez la valeur de la constante de désintégration $\lambda$ en années^-1.
Quelle quantité de carbone-14 restera après 1000 ans ?
Après combien de temps la quantité de carbone-14 sera-t-elle réduite à 25% de sa quantité initiale ?
Exprimez le temps en fonction de la quantité restante et de la constante de désintégration $\lambda$ .
Si un artefact contient 10g de carbone-14, quel est son âge estimé, en supposant qu'il n'y a pas eu d'apport supplémentaire de carbone-14 depuis sa formation ?

Corrigé

Question 1

La demi-vie $t_{1/2}$ est le temps nécessaire pour que la quantité de substance soit réduite de moitié. Donc, $N(t_{1/2}) = {1}/{2}N_0$ . On a : ${1}/{2}N_0 = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}$ ${1}/{2} = e^{-\lambda t_{1/2}}$ En prenant le logarithme népérien des deux côtés : $\ln\left({1}/{2}\right) = -\lambda t_{1/2}$ $\lambda = -{\ln\left(\frac{1}/{2}\right)}{t_{1/2}} = {\ln(2)}/{t_{1/2}}$ Avec $t_{1/2} = 5730$ ans : $\lambda = {\ln(2)}/{5730} \approx 1.2097 \times 10^{-4} \text{ années}^{-1}$

Question 2

On utilise la formule de décroissance radioactive : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ Avec g, ans, et $\lambda \approx 1.2097 \times 10^{-4}$ années^-1 : $N(1000) = 100 e^{-1.2097 \times 10^{-4} \times 1000} \approx 100 e^{-0.12097} \approx 100 \times 0.8869 \approx 88.69 \text{ g}$

Question 3

On veut trouver tel que $N(t) = 0.25 N_0 = {1}/{4} N_0$ . ${1}/{4}N_0 = N_0 e^{-\lambda t}$ ${1}/{4} = e^{-\lambda t}$ En prenant le logarithme népérien des deux côtés : $\ln\left({1}/{4}\right) = -\lambda t$ $t = -{\ln\left(\frac{1}/{4}\right)}{\lambda} = {\ln(4)}/{\lambda} = {2\ln(2)}/{\lambda}$ Avec $\lambda \approx 1.2097 \times 10^{-4}$ années^-1 : $t \approx {2\ln(2)}/{1.2097 \times 10^{-4}} \approx {1.3863}/{1.2097 \times 10^{-4}} \approx 11460 \text{ ans}$ Note : $t = 2t_{1/2} = 2 \times 5730 = 11460$ ans.

Question 4

On part de $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ et on prend le logarithme népérien des deux côtés : $\ln(N(t)) = \ln(N_0 e^{-\lambda t}) = \ln(N_0) + \ln(e^{-\lambda t}) = \ln(N_0) - \lambda t$ $\lambda t = \ln(N_0) - \ln(N(t)) = \ln\left({N_0}/{N(t)}\right)$ $t = {1}/{\lambda} \ln\left({N_0}/{N(t)}\right)$

Question 5

On a g, g, et $\lambda \approx 1.2097 \times 10^{-4}$ années^-1. $t = {1}/{\lambda} \ln\left({N_0}/{N(t)}\right) = {1}/{1.2097 \times 10^{-4}} \ln\left({100}/{10}\right) = {1}/{1.2097 \times 10^{-4}} \ln(10)$ $t \approx {2.3026}/{1.2097 \times 10^{-4}} \approx 19036 \text{ ans}$