Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes :

• Nombres réels : Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la notion d'ordre.
• Fonctions : Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique et leur vocabulaire (domaine de définition, image, antécédents).
• Algèbre : Maîtrise des manipulations algébriques de base (développement, factorisation, résolution d'équations du premier et du second degré).
• Notion d'indice : Compréhension de la notion d'indice dans une suite (u_n).
• Ce cours se situe dans la partie “Nombre et Calcul” du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ℕ) ou une partie de celui-ci, à valeurs dans l'ensemble des nombres réels (ℝ). On la note généralement (u_n) où n est l'indice. Chaque terme u_n est appelé terme général de la suite.

Exemple : La suite définie par u_n = 2n + 1 pour tout n ∈ ℕ est une suite arithmétique. Les premiers termes sont : u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7, etc.

Il existe plusieurs manières de définir une suite :

• Par son terme général : u_n est exprimé en fonction de n.
• Par récurrence : On donne le premier terme u₀ et une relation de récurrence qui permet de calculer u_n+1 en fonction de u_n.

Exemple : Suite définie par u₀ = 1 et u_n+1 = u_n + 2. Les premiers termes sont : u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7, etc. (suite arithmétique).

On peut représenter graphiquement une suite en plaçant les points de coordonnées (n, u_n) dans un repère. Ces points sont généralement isolés, contrairement à la représentation graphique d'une fonction continue.

Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est obtenu en ajoutant une constante (appelée raison *r*) au terme précédent. On a donc u_n+1 = u_n + r.

*Formule du terme général :* u_n = u₀ + nr

*Formule de la somme des n premiers termes :* S_n =

Exemple : La suite définie par u₀ = 2 et r = 3 est une suite arithmétique. u_n = 2 + 3n.

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante (appelée raison *q*). On a donc u_n+1 = q * u_n.

*Formule du terme général :* u_n = u₀ * qⁿ

*Formule de la somme des n premiers termes :* S_n = u₀ * si q ≠ 1

Exemple : La suite définie par u₀ = 1 et q = 2 est une suite géométrique. u_n = 2ⁿ.

On dit qu'une suite (u_n) converge vers une limite *l* si les termes de la suite se rapprochent de *l* lorsque n devient suffisamment grand.

Une suite (u_n) converge vers une limite *l* si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout n > N, |u_n - l| < ε.

• Suite convergente : Suite qui admet une limite finie.
• Suite divergente : Suite qui ne converge pas vers une limite finie.
• Suite non bornée : Suite dont les termes ne sont pas limités dans un intervalle fini.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites convergentes de limites respectives *l* et *l'*, alors :

• lim (u_n + v_n) = l + l'
• lim (u_n * v_n) = l * l'
• lim (u_n / v_n) = l / l' si l' ≠ 0

Si u_n ≤ v_n pour tout n à partir d'un certain rang, et si lim(u_n) = l et lim(v_n) = l', alors l ≤ l'.

Si (u_n), (v_n) et (w_n) sont trois suites telles que u_n ≤ v_n ≤ w_n pour tout n à partir d'un certain rang, et si lim(u_n) = lim(w_n) = l, alors lim(v_n) = l.

• Suite croissante : u_n+1 ≥ u_n pour tout n.
• Suite décroissante : u_n+1 ≤ u_n pour tout n.
• Suite monotone : Suite croissante ou décroissante.

Toute suite monotone et bornée est convergente.

L'étude de la limite d'une suite définie par récurrence peut se faire en utilisant les méthodes précédentes, ou en cherchant un point fixe (une valeur *l* telle que l = f(l), où f est la fonction qui définit la récurrence).

Les suites et les limites peuvent être utilisées pour modéliser et résoudre des problèmes concrets, tels que la croissance d'une population, l'amortissement d'un prêt, ou la convergence d'un algorithme.

• Suite numérique : Fonction définie sur ℕ ou une partie de ℕ, à valeurs dans ℝ.
• Suite arithmétique : u_n+1 = u_n + r. Terme général : u_n = u₀ + nr.
• Suite géométrique : u_n+1 = q * u_n. Terme général : u_n = u₀ * qⁿ.
• Limite d'une suite : Valeur vers laquelle les termes de la suite se rapprochent lorsque n tend vers l'infini.
• Suite convergente : Suite qui admet une limite finie.
• Suite divergente : Suite qui ne converge pas vers une limite finie.
• Théorème des gendarmes : Si u_n ≤ v_n ≤ w_n et lim(u_n) = lim(w_n) = l, alors lim(v_n) = l.
• Suite monotone bornée : Converge.
• Formule du terme général d'une suite arithmétique :
• Formule de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique :
• Formule du terme général d'une suite géométrique :
• Formule de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique : (si q ≠ 1)