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Piste : • Suites et limites
cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites

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Table des matières

Suites et limites

Prérequis

Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes :

  • Nombres réels : Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique.
  • Fonctions : Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique, leur domaine de définition et leur image.
  • Algèbre : Maîtrise des manipulations algébriques de base, notamment le développement, la factorisation et la résolution d'équations du premier et du second degré.
  • Notion de variable : Compréhension du concept de variable et de son utilisation dans les expressions mathématiques.
  • Ce cours se situe dans la partie “Nombre et Calcul” du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.

Chapitre 1 : Introduction aux suites numériques

Définition d'une suite

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (mathbb{N }) ou une partie de celui-ci. On la note généralement (u_n) où n est l'indice et u_n est le terme général de la suite. Chaque terme de la suite est obtenu en appliquant une règle de calcul à l'indice n.

Exemple : La suite définie par u_n = 2n + 1 pour tout n in mathbb{N } est une suite arithmétique dont les premiers termes sont : u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 7, etc.

Manière de définir une suite

Il existe plusieurs manières de définir une suite :

  • Par son terme général : Comme dans l'exemple précédent, on donne une formule explicite pour calculer u_n en fonction de n.
  • Par récurrence : On donne le premier terme u_0 (ou u_1) et une relation de récurrence qui permet de calculer u_{n+1} en fonction de u_n.

Exemple : La suite de Fibonacci est définie par u_0 = 0, u_1 = 1 et u_{n+2} = u_{n+1} + u_n pour tout n in mathbb{N }.

Suites arithmétiques et géométriques

Deux types de suites sont particulièrement importants :

  • Suite arithmétique : Une suite (u_n) est arithmétique s'il existe un nombre réel r (appelé raison) tel que u_{n+1} = u_n + r pour tout n in mathbb{N }. Le terme général d'une suite arithmétique est donné par u_n = u_0 + nr.
  • Suite géométrique : Une suite (u_n) est géométrique s'il existe un nombre réel q (appelé raison) tel que u_{n+1} = q u_n pour tout n in mathbb{N }. Le terme général d'une suite géométrique est donné par u_n = u_0 q^n.

Chapitre 2 : Limites d'une suite

Notion intuitive de limite

On dit qu'une suite (u_n) converge vers une limite l si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de l. On note alors lim_{n to infty} u_n = l.

Exemple : La suite u_n = (1)/(n) converge vers 0. En effet, lorsque n devient très grand, (1)/(n) devient très petit et se rapproche de 0.

Définition formelle de la limite

Pour définir rigoureement la limite d'une suite, on utilise la définition suivante :

Une suite (u_n) converge vers l si et seulement si pour tout epsilon > 0, il existe un entier N tel que pour tout n > N, on ait |u_n - l| < epsilon.

Cette définition peut sembler abstraite, mais elle permet de donner un sens précis à la notion de convergence.

Limites infinies

Une suite (u_n) diverge vers +infty si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite sont supérieurs à tout nombre réel positif. On note alors lim_{n to infty} u_n = +infty. De même, une suite (u_n) diverge vers -infty si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite sont inférieurs à tout nombre réel négatif. On note alors lim_{n to infty} u_n = -infty.

Chapitre 3 : Opérations sur les limites

Limites de sommes et de produits

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites convergentes de limites respectives l et l', alors :

  • lim_{n to infty} (u_n + v_n) = l + l'
  • lim_{n to infty} (u_n . v_n) = l . l'

Limites de quotients

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites convergentes de limites respectives l et l', avec l' \≠ 0, alors :

lim_{n to infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l')

Formes indéterminées

Certaines opérations sur les limites conduisent à des formes indéterminées, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont :

  • infty - infty
  • 0 . infty
  • (0)/(0)
  • (infty)/(infty)

Dans ces cas, il est nécessaire de transformer l'expression pour lever l'indétermination.

Chapitre 4 : Théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites telles que u_n \>= v_n à partir d'un certain rang, alors :

  • Si lim_{n to infty} v_n = +infty, alors lim_{n to infty} u_n = +infty.
  • Si lim_{n to infty} u_n = -infty, alors lim_{n to infty} v_n = -infty.

Théorème des gendarmes

Si (u_n), (v_n) et (w_n) sont trois suites telles que v_n \<= u_n \<= w_n à partir d'un certain rang et lim_{n to infty} v_n = lim_{n to infty} w_n = l, alors lim_{n to infty} u_n = l.

Chapitre 5 : Suites monotones et suites bornées

Suites monotones

Une suite (u_n) est dite croissante si u_{n+1} \>= u_n pour tout n in mathbb{N }. Elle est dite décroissante si u_{n+1} \<= u_n pour tout n in mathbb{N }.

Suites bornées

Une suite (u_n) est dite bornée s'il existe un nombre réel M tel que |u_n| \<= M pour tout n in mathbb{N }.

Théorème de convergence des suites monotones

Toute suite monotone et bornée est convergente.

Chapitre 6 : Applications et exercices

Exercice 1 : Étude d'une suite arithmétique

Soit la suite (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = u_n + 3.

  1. Déterminer la nature de la suite (u_n).
  2. Exprimer u_n en fonction de n.
  3. Déterminer la limite de la suite (u_n).

*Corrigé :*

  1. La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r = 3.
  2. u_n = u_0 + nr = 2 + 3n.
  3. lim_{n to infty} u_n = lim_{n to infty} (2 + 3n) = +infty.

Exercice 2 : Étude d'une suite géométrique

Soit la suite (v_n) définie par v_0 = 1 et v_{n+1} = (1)/(2) v_n.

  1. Déterminer la nature de la suite (v_n).
  2. Exprimer v_n en fonction de n.
  3. Déterminer la limite de la suite (v_n).

*Corrigé :*

  1. La suite (v_n) est une suite géométrique de raison q = (1)/(2).
  2. v_n = v_0 q^n = ((1)/(2))^n.
  3. lim_{n to infty} v_n = lim_{n to infty} ((1)/(2))^n = 0.

Résumé

  • Une suite numérique est une fonction définie sur mathbb{N }.
  • Une suite arithmétique a une raison constante r : u_{n+1} = u_n + r. Son terme général est u_n = u_0 + nr.
  • Une suite géométrique a une raison constante q : u_{n+1} = q u_n. Son terme général est u_n = u_0 q^n.
  • lim_{n to infty} u_n = l signifie que les termes de la suite se rapprochent de l lorsque n tend vers l'infini.
  • lim_{n to infty} u_n = +infty ou -infty signifie que la suite diverge vers l'infini.
  • Opérations sur les limites :
  • lim_{n to infty} (u_n + v_n) = lim_{n to infty} u_n + lim_{n to infty} v_n
  • lim_{n to infty} (u_n . v_n) = lim_{n to infty} u_n . lim_{n to infty} v_n
  • lim_{n to infty} (u_n)/(v_n) = (lim_{n to infty} u_n)/(lim_{n to infty) v_n} (si le dénominateur est non nul)
  • Théorème de comparaison : Si u_n \>= v_n, alors lim_{n to infty} v_n \<= lim_{n to infty} u_n.
  • Théorème des gendarmes : Si v_n \<= u_n \<= w_n et lim_{n to infty} v_n = lim_{n to infty} w_n = l, alors lim_{n to infty} u_n = l.
  • Une suite monotone et bornée est convergente.
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