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Table des matières

Applications sur les vecteurs

Applications sur les vecteurs

Prérequis

Ce cours nécessite la maîtrise des notions de base sur les vecteurs : définition d'un vecteur, égalité de deux vecteurs, représentation graphique, opérations sur les vecteurs (addition, soustraction, multiplication par un scalaire). Ce chapitre s'inscrit dans la continuité du chapitre introductif sur les vecteurs et précède l'étude des produits scalaires et vectoriels. Il est généralement abordé au second trimestre de l'année de seconde.

Chapitre 1 : Coordonnées d'un vecteur et applications

1.1 Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Dans un repère , un vecteur peut être décomposé de manière unique sous la forme : , où et sont des nombres réels appelés coordonnées du vecteur . On note alors $vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ . est l'abscisse et l'ordonnée du vecteur.

*Exemple :* Dans le repère , si , alors les coordonnées de sont $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ .

1.2 Applications aux problèmes géométriques

Les coordonnées permettent de résoudre facilement des problèmes de géométrie vectorielle.

Exemple 1 : Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment [AB] dont les extrémités A et B ont pour coordonnées respectives A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B).

Le vecteur a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ .
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées $\begin{pmatrix} (x_A + x_B) / (2) \\ (y_A + y_B) / (2) \end{pmatrix}$ .

Exemple 2 : Montrer que les points A(1,2), B(4,6) et C(7,10) sont alignés.

Calculons les coordonnées des vecteurs et : $vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $vec{AC} = \begin{pmatrix} 7-1 \\ 10-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ .
On remarque que . Les vecteurs et sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés.

Exercice corrigé 1: Soient A(2, -1) et B(5, 3). Déterminer les coordonnées du point M tel que .

Correction: $vec{AM} = \begin{pmatrix} x_M - 2 \\ y_M + 1 \end{pmatrix}$ et $vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ . Donc $\begin{pmatrix} x_M - 2 \\ y_M + 1 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ . Par conséquent, et . Les coordonnées de M sont (8, 7).

Chapitre 2 : Vecteurs et équations de droites

2.1 Vecteur directeur d'une droite

Une droite (D) admet un vecteur directeur non nul, tel que si A et B sont deux points quelconques de (D), alors est colinéaire à .

2.2 Équation cartésienne d'une droite

Si $vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite (D) passant par le point A(x_A, y_A), alors l'équation cartésienne de (D) s'écrit : .

Remarque : Si , l'équation se simplifie en . Si , l'équation se simplifie en .

Exercice corrigé 2: Déterminer l'équation cartésienne de la droite (D) passant par A(1, 2) et de vecteur directeur $vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

Correction: L'équation cartésienne est donnée par : , ce qui se simplifie en , soit .

Chapitre 3 : Applications aux problèmes de physique

Les vecteurs sont omniprésents en physique, notamment pour représenter les forces, les vitesses et les accélérations. L'utilisation des coordonnées permet de simplifier les calculs.

*Exemple :* Deux forces $vec{F_1}$ et $vec{F_2}$ s'appliquent sur un point matériel. $vec{F_1} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ N et $vec{F_2} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ N. Déterminer les coordonnées de la résultante $vec{R} = vec{F_1} + vec{F_2}$ .

$vec{R} = \begin{pmatrix} 3 + (-1) \\ 4 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ N. La résultante a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ N.

Résumé

Vecteur: grandeur physique caractérisée par une direction, un sens et une norme.
Coordonnées d'un vecteur: Dans un repère , un vecteur a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ si .
Milieu d'un segment: Les coordonnées du milieu I d'un segment [AB] sont $\begin{pmatrix} (x_A + x_B) / (2) \\ (y_A + y_B) / (2) \end{pmatrix}$ .
Colinéarité: Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Vecteur directeur: Un vecteur non nul est un vecteur directeur d'une droite si tous les vecteurs reliant deux points de la droite sont colinéaires à .
Equation cartésienne d'une droite: avec $vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ vecteur directeur et A(x_A, y_A) un point de la droite.