===== Suites et Limites : Exercice d'Application =====
Énoncé
Soit la suite <m>(u_n)</m> définie par <m>u_0 = 2</m> et <m>u_{n+1} = u_n + 3</m> pour tout entier naturel <m>n</m>. On considère également la suite <m>(v_n)</m> définie par <m>v_0 = 1</m> et <m>v_{n+1} = 2v_n</m>.
==== Questions ====
  - Déterminer la nature de la suite <m>(u_n)</m>. Justifier votre réponse.
  - Exprimer <m>u_n</m> en fonction de <m>n</m>.
  - Déterminer la nature de la suite <m>(v_n)</m>. Justifier votre réponse.
  - Exprimer <m>v_n</m> en fonction de <m>n</m>.
  - Calculer la limite de la suite <m>(u_n)</m> si elle existe.
==== Corrigé ====
=== Question 1 ===
<p>La suite <m>(u_n)</m> est une suite arithmétique car la différence entre deux termes consécutifs est constante : <m>u_{n+1} - u_n = (u_n + 3) - u_n = 3</m>. La raison de la suite est donc <m>r = 3</m>.</p>
=== Question 2 ===
<p>La formule générale d'une suite arithmétique est <m>u_n = u_0 + nr</m>. Dans notre cas, <m>u_0 = 2</m> et <m>r = 3</m>, donc <m>u_n = 2 + 3n</m>.</p>
=== Question 3 ===
<p>La suite <m>(v_n)</m> est une suite géométrique car le rapport entre deux termes consécutifs est constant : <m>v_{n+1} / v_n = (2v_n) / v_n = 2</m>. La raison de la suite est donc <m>q = 2</m>.</p>
=== Question 4 ===
<p>La formule générale d'une suite géométrique est <m>v_n = v_0 * q^n</m>. Dans notre cas, <m>v_0 = 1</m> et <m>q = 2</m>, donc <m>v_n = 1 * 2^n = 2^n</m>.</p>
=== Question 5 ===
<p>La suite <m>(u_n) = 2 + 3n</m> est une suite arithmétique de raison positive. Par conséquent, elle diverge vers l'infini. Il n'y a pas de limite finie pour cette suite.</p>