====== Suites et limites ====== ===== Prérequis ===== Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes : * **Nombres réels :** Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique. * **Fonctions :** Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique et leur vocabulaire (domaine de définition, image, antécédents). * **Algèbre :** Maîtrise des manipulations algébriques de base (développement, factorisation, résolution d'équations et d'inéquations). * **Notion d'indice :** Compréhension de l'utilisation des indices pour désigner les éléments d'une suite. * **Ce cours se situe dans la partie "Nombre et Calcul" du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.** ===== Chapitre 1 : Introduction aux suites numériques ===== ==== Définition d'une suite ==== Une **suite numérique** est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels bbN (ou une partie de bbN) et qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel u_n. On note généralement une suite (u_n). * n est appelé l'**indice** de la suite. * u_n est appelé le **terme général** de la suite. * **Exemple :** La suite définie par u_n = 2n + 1 pour tout n in bbN est une suite arithmétique. Les premiers termes de cette suite sont : u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 7, etc. ==== Manières de définir une suite ==== Il existe plusieurs manières de définir une suite : * **Par son terme général :** Comme dans l'exemple précédent, on donne une formule explicite pour calculer u_n en fonction de n. * **Par récurrence :** On donne le premier terme u_0 (ou u_1) et une relation de récurrence qui permet de calculer u_{n+1} en fonction de u_n. ***Exemple :*** La suite de Fibonacci est définie par u_0 = 0, u_1 = 1 et u_{n+2} = u_{n+1} + u_n pour tout n in bbN. ===== Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques ===== ==== Suites arithmétiques ==== Une suite (u_n) est dite **arithmétique** s'il existe un nombre réel r tel que u_{n+1} = u_n + r pour tout n in bbN. Le nombre r est appelé la **raison** de la suite. * Le terme général d'une suite arithmétique est donné par : u_n = u_0 + nr. * La somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : S_n = (n+1)/(2)(u_0 + u_n). ==== Suites géométriques ==== Une suite (u_n) est dite **géométrique** s'il existe un nombre réel q tel que u_{n+1} = q u_n pour tout n in bbN. Le nombre q est appelé la **raison** de la suite. * Le terme général d'une suite géométrique est donné par : u_n = u_0 q^n. * La somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : S_n = u_0 (1 - q^{n+1})/(1 - q) si q \≠ 1. ===== Chapitre 3 : Limites d'une suite ===== ==== Notion intuitive de limite ==== On dit qu'une suite (u_n) converge vers une limite l si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de l. On note alors \lim_{n right infty} u_n = l. ==== Définition formelle de la limite ==== Une suite (u_n) converge vers une limite l si, pour tout nombre réel epsilon > 0, il existe un entier N tel que pour tout n > N, on ait |u_n - l| < epsilon. ===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites ===== ==== Limites de sommes et de produits ==== Si (u_n) et (v_n) sont deux suites convergentes de limites respectives l et l prime, alors : * \lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l prime * \lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l prime ==== Limites de quotients ==== Si (u_n) et (v_n) sont deux suites convergentes de limites respectives l et l prime, avec l prime ≠ 0, alors : \lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l prime) ===== Chapitre 5 : Suites monotones et bornées ===== ==== Suites monotones ==== Une suite est dite **croissante** si u_{n+1} \>= u_n pour tout n in bbN. Elle est dite **décroissante** si u_{n+1} \<= u_n pour tout n in bbN. ==== Suites bornées ==== Une suite est dite **bornée** s'il existe un nombre réel M tel que |u_n| \<= M pour tout n in bbN. ==== Théorème de la convergence monotone ==== Toute suite monotone et bornée est convergente. ===== Chapitre 6 : Limites et comparaison ===== ==== Théorème de comparaison ==== Si u_n \>= v_n à partir d'un certain rang et si \lim_{n right infty} v_n = l, alors \lim_{n right infty} u_n = l. ==== Théorème d'encadrement (ou des gendarmes) ==== Si u_n \<= v_n \<= w_n à partir d'un certain rang et si \lim_{n right infty} u_n = \lim_{n right infty} w_n = l, alors \lim_{n right infty} v_n = l. ===== Chapitre 7 : Formes indéterminées ===== ==== Les formes indéterminées ==== Certaines expressions impliquant des limites peuvent donner lieu à des **formes indéterminées**, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont : * (0)/(0) * (infty)/(infty) * 0 . infty * infty - infty * 1^{infty} * 0^0 * infty^0 ==== Méthodes pour lever les formes indéterminées ==== Pour lever les formes indéterminées, on peut utiliser différentes méthodes, telles que : * La factorisation * La multiplication par un conjugué * Le théorème de comparaison * La règle de l'Hôpital (qui sera étudiée plus tard) ===== Chapitre 8 : Applications des suites et limites ===== ==== Intérêt des suites ==== Les suites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés tels que : * La croissance démographique * L'évolution d'un capital investi * La décroissance radioactive * L'approximation de nombres irrationnels ==== Exemples d'applications ==== **Exemple 1 :** Calculer la limite de la suite u_n = (n^2 + 1)/(2n^2 - 3). \lim_{n right infty} (n^2 + 1)/(2n^2 - 3) = \lim_{n right infty} (1 + frac{1)/(n^2)}{2 - (3)/(n^2)} = (1)/(2). **Exemple 2 :** Étudier la convergence de la suite u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n}. u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n} = ((sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n}))/(sqrt{n+1) + sqrt{n}} = (1)/(sqrt{n+1) + sqrt{n}}. \lim_{n right infty} u_n = 0. ===== Résumé ===== * Une **suite numérique** est une fonction définie sur bbN (ou une partie de bbN). * Une suite **arithmétique** est définie par une raison r: u_{n+1} = u_n + r. Son terme général est u_n = u_0 + nr. * Une suite **géométrique** est définie par une raison q: u_{n+1} = q u_n. Son terme général est u_n = u_0 q^n. * La **limite** d'une suite (u_n) est un nombre l tel que les termes de la suite se rapprochent de l lorsque n tend vers l'infini. * Les **opérations sur les limites** permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites. * Une suite **monotone** est soit croissante, soit décroissante. * Une suite **bornée** est une suite dont les termes sont compris entre deux bornes. * Le **théorème de la convergence monotone** affirme que toute suite monotone et bornée est convergente. * Le **théorème de comparaison** et le **théorème d'encadrement** permettent de déterminer la limite d'une suite en la comparant à d'autres suites. * Les **formes indéterminées** sont des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. * Les suites et les limites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés.