La Fonction Exponentielle

Énoncé de l'exercice : Cet exercice a pour but de tester votre compréhension des propriétés et des applications de la fonction exponentielle, ainsi que de sa relation avec le logarithme népérien.

Questions

Soit . Déterminez et .

Résolvez l'équation . Donnez la solution sous forme exacte.

Simplifiez l'expression .

Une population de micro-organismes croît selon la loi , où est la population initiale, est le temps en heures et est une constante positive. Si la population initiale est de 500 et qu'elle atteint 2000 après 3 heures, déterminez la valeur de .

Déterminez la limite suivante : .

Corrigé

Question 1

Soit . Pour trouver , on utilise la règle de dérivation de la fonction exponentielle : . Pour trouver , on dérive : .

Question 2

Pour résoudre l'équation , on applique le logarithme népérien aux deux membres : .

Question 3

Pour simplifier l'expression , on utilise la propriété : .

Question 4

On a . On sait que et . On peut donc écrire : .

Question 5

On cherche à déterminer la limite . Lorsque tend vers , tend vers et tend vers . Par conséquent, tend vers . Donc, .