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====== Suites et limites ======

===== Prérequis =====

Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes :

  * **Nombres réels :** Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique.
  * **Fonctions :** Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique et leur vocabulaire (domaine de définition, image, antécédents).
  * **Algèbre :** Maîtrise des manipulations algébriques de base (développement, factorisation, résolution d'équations et d'inéquations).
  * **Notion d'indice :** Compréhension de l'utilisation des indices pour désigner les éléments d'une suite.
  * **Ce cours se situe dans la partie "Nombre et Calcul" du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.**

===== Chapitre 1 : Introduction aux suites numériques =====

==== Définition d'une suite ====

Une **suite numérique** est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels <m>bbN</m> (ou une partie de <m>bbN</m>) et qui associe à chaque entier naturel <m>n</m> un nombre réel <m>u_n</m>. On note généralement une suite <m>(u_n)</m>.

  * <m>n</m> est appelé l'**indice** de la suite.
  * <m>u_n</m> est appelé le **terme général** de la suite.

  * **Exemple :** La suite définie par <m>u_n = 2n + 1</m> pour tout <m>n in bbN</m> est une suite arithmétique. Les premiers termes de cette suite sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 3</m>, <m>u_2 = 5</m>, <m>u_3 = 7</m>, etc.

==== Manières de définir une suite ====

Il existe plusieurs manières de définir une suite :

  * **Par son terme général :** Comme dans l'exemple précédent, on donne une formule explicite pour calculer <m>u_n</m> en fonction de <m>n</m>.
  * **Par récurrence :** On donne le premier terme <m>u_0</m> (ou <m>u_1</m>) et une relation de récurrence qui permet de calculer <m>u_{n+1}</m> en fonction de <m>u_n</m>.

***Exemple :*** La suite de Fibonacci est définie par <m>u_0 = 0</m>, <m>u_1 = 1</m> et <m>u_{n+2} = u_{n+1} + u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>.

===== Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques =====

==== Suites arithmétiques ====

Une suite <m>(u_n)</m> est dite **arithmétique** s'il existe un nombre réel <m>r</m> tel que <m>u_{n+1} = u_n + r</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Le nombre <m>r</m> est appelé la **raison** de la suite.

  * Le terme général d'une suite arithmétique est donné par : <m>u_n = u_0 + nr</m>.
  * La somme des <m>n+1</m> premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : <m>S_n = (n+1)/(2)(u_0 + u_n)</m>.

==== Suites géométriques ====

Une suite <m>(u_n)</m> est dite **géométrique** s'il existe un nombre réel <m>q</m> tel que <m>u_{n+1} = q u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>. Le nombre <m>q</m> est appelé la **raison** de la suite.

  * Le terme général d'une suite géométrique est donné par : <m>u_n = u_0 q^n</m>.
  * La somme des <m>n+1</m> premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : <m>S_n = u_0 (1 - q^{n+1})/(1 - q)</m> si <m>q \≠ 1</m>.

===== Chapitre 3 : Limites d'une suite =====

==== Notion intuitive de limite ====

On dit qu'une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de <m>l</m>. On note alors <m>\lim_{n right infty} u_n = l</m>.

==== Définition formelle de la limite ====

Une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, pour tout nombre réel <m>epsilon > 0</m>, il existe un entier <m>N</m> tel que pour tout <m>n > N</m>, on ait <m>|u_n - l| < epsilon</m>.

===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites =====

==== Limites de sommes et de produits ====

Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, alors :

  * <m>\lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l prime</m>
  * <m>\lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l prime</m>

==== Limites de quotients ====

Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, avec <m>l prime ≠ 0</m>, alors :

<m>\lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l prime)</m>


===== Chapitre 5 : Suites monotones et bornées =====

==== Suites monotones ====

Une suite est dite **croissante** si <m>u_{n+1} \>= u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>. Elle est dite **décroissante** si <m>u_{n+1} \<= u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>.

==== Suites bornées ====

Une suite est dite **bornée** s'il existe un nombre réel <m>M</m> tel que <m>|u_n| \<= M</m> pour tout <m>n in  bbN</m>.

==== Théorème de la convergence monotone ====

Toute suite monotone et bornée est convergente.

===== Chapitre 6 : Limites et comparaison =====

==== Théorème de comparaison ====

Si <m>u_n \>= v_n</m> à partir d'un certain rang et si <m>\lim_{n right infty} v_n = l</m>, alors <m>\lim_{n right infty} u_n = l</m>.

==== Théorème d'encadrement (ou des gendarmes) ====

Si <m>u_n \<= v_n \<= w_n</m> à partir d'un certain rang et si <m>\lim_{n right infty} u_n = \lim_{n right infty} w_n = l</m>, alors <m>\lim_{n right infty} v_n = l</m>.

===== Chapitre 7 : Formes indéterminées =====

==== Les formes indéterminées ====

Certaines expressions impliquant des limites peuvent donner lieu à des **formes indéterminées**, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont :

  * <m>(0)/(0)</m>
  * <m>(infty)/(infty)</m>
  * <m>0 . infty</m>
  * <m>infty - infty</m>
  * <m>1^{infty}</m>
  * <m>0^0</m>
  * <m>infty^0</m>

==== Méthodes pour lever les formes indéterminées ====

Pour lever les formes indéterminées, on peut utiliser différentes méthodes, telles que :

  * La factorisation
  * La multiplication par un conjugué
  * Le théorème de comparaison
  * La règle de l'Hôpital (qui sera étudiée plus tard)

===== Chapitre 8 : Applications des suites et limites =====

==== Intérêt des suites ====

Les suites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés tels que :

  * La croissance démographique
  * L'évolution d'un capital investi
  * La décroissance radioactive
  * L'approximation de nombres irrationnels

==== Exemples d'applications ====

**Exemple 1 :** Calculer la limite de la suite <m>u_n = (n^2 + 1)/(2n^2 - 3)</m>.

<m>\lim_{n right infty} (n^2 + 1)/(2n^2 - 3) = \lim_{n right infty} (1 + frac{1)/(n^2)}{2 - (3)/(n^2)} = (1)/(2)</m>.

**Exemple 2 :** Étudier la convergence de la suite <m>u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n}</m>.

<m>u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n} = ((sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n}))/(sqrt{n+1) + sqrt{n}} = (1)/(sqrt{n+1) + sqrt{n}}</m>.

<m>\lim_{n right infty} u_n = 0</m>.

===== Résumé =====

  * Une **suite numérique** est une fonction définie sur <m>bbN</m> (ou une partie de <m>bbN</m>).
  * Une suite **arithmétique** est définie par une raison <m>r</m>: <m>u_{n+1} = u_n + r</m>. Son terme général est <m>u_n = u_0 + nr</m>.
  * Une suite **géométrique** est définie par une raison <m>q</m>: <m>u_{n+1} = q u_n</m>. Son terme général est <m>u_n = u_0 q^n</m>.
  * La **limite** d'une suite <m>(u_n)</m> est un nombre <m>l</m> tel que les termes de la suite se rapprochent de <m>l</m> lorsque <m>n</m> tend vers l'infini.
  * Les **opérations sur les limites** permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites.
  * Une suite **monotone** est soit croissante, soit décroissante.
  * Une suite **bornée** est une suite dont les termes sont compris entre deux bornes.
  * Le **théorème de la convergence monotone** affirme que toute suite monotone et bornée est convergente.
  * Le **théorème de comparaison** et le **théorème d'encadrement** permettent de déterminer la limite d'une suite en la comparant à d'autres suites.
  * Les **formes indéterminées** sont des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement.
  * Les suites et les limites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés.