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| cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites [2025/07/07 22:42] – [Définition d'une suite] prof67 | cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites [2025/07/08 00:05] (Version actuelle) – prof67 |
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| * <m>u_n</m> est appelé le **terme général** de la suite. | * <m>u_n</m> est appelé le **terme général** de la suite. |
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| ***Exemple :*** La suite définie par <m>u_n = 2n + 1</m> pour tout <m>n in \ bbN </m> est une suite arithmétique. Les premiers termes de cette suite sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 3</m>, <m>u_2 = 5</m>, <m>u_3 = 7</m>, etc. | * **Exemple :** La suite définie par <m>u_n = 2n + 1</m> pour tout <m>n in bbN</m> est une suite arithmétique. Les premiers termes de cette suite sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 3</m>, <m>u_2 = 5</m>, <m>u_3 = 7</m>, etc. |
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| ==== Manières de définir une suite ==== | ==== Manières de définir une suite ==== |
| * **Par récurrence :** On donne le premier terme <m>u_0</m> (ou <m>u_1</m>) et une relation de récurrence qui permet de calculer <m>u_{n+1}</m> en fonction de <m>u_n</m>. | * **Par récurrence :** On donne le premier terme <m>u_0</m> (ou <m>u_1</m>) et une relation de récurrence qui permet de calculer <m>u_{n+1}</m> en fonction de <m>u_n</m>. |
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| ***Exemple :*** La suite de Fibonacci est définie par <m>u_0 = 0</m>, <m>u_1 = 1</m> et <m>u_{n+2} = u_{n+1} + u_n</m> pour tout <m>n in \ bbN </m>. | ***Exemple :*** La suite de Fibonacci est définie par <m>u_0 = 0</m>, <m>u_1 = 1</m> et <m>u_{n+2} = u_{n+1} + u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>. |
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| ===== Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques ===== | ===== Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques ===== |
| ==== Suites arithmétiques ==== | ==== Suites arithmétiques ==== |
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| Une suite <m>(u_n)</m> est dite **arithmétique** s'il existe un nombre réel <m>r</m> tel que <m>u_{n+1} = u_n + r</m> pour tout <m>n in \ bbN </m>. Le nombre <m>r</m> est appelé la **raison** de la suite. | Une suite <m>(u_n)</m> est dite **arithmétique** s'il existe un nombre réel <m>r</m> tel que <m>u_{n+1} = u_n + r</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Le nombre <m>r</m> est appelé la **raison** de la suite. |
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| * Le terme général d'une suite arithmétique est donné par : <m>u_n = u_0 + nr</m>. | * Le terme général d'une suite arithmétique est donné par : <m>u_n = u_0 + nr</m>. |
| ==== Suites géométriques ==== | ==== Suites géométriques ==== |
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| Une suite <m>(u_n)</m> est dite **géométrique** s'il existe un nombre réel <m>q</m> tel que <m>u_{n+1} = q u_n</m> pour tout <m>n in \ bbN </m>. Le nombre <m>q</m> est appelé la **raison** de la suite. | Une suite <m>(u_n)</m> est dite **géométrique** s'il existe un nombre réel <m>q</m> tel que <m>u_{n+1} = q u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Le nombre <m>q</m> est appelé la **raison** de la suite. |
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| * Le terme général d'une suite géométrique est donné par : <m>u_n = u_0 q^n</m>. | * Le terme général d'une suite géométrique est donné par : <m>u_n = u_0 q^n</m>. |
| ==== Définition formelle de la limite ==== | ==== Définition formelle de la limite ==== |
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| Une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, pour tout nombre réel <m>epsilon > 0</m>, il existe un entier <m>N </m> tel que pour tout <m>n > N </m>, on ait <m>|u_n - l| < epsilon</m>. | Une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, pour tout nombre réel <m>epsilon > 0</m>, il existe un entier <m>N</m> tel que pour tout <m>n > N</m>, on ait <m>|u_n - l| < epsilon</m>. |
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| ===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites ===== | ===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites ===== |
| ==== Limites de sommes et de produits ==== | ==== Limites de sommes et de produits ==== |
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| Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l'</m>, alors : | Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, alors : |
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| * <m>\lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l'</m> | * <m>\lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l prime</m> |
| * <m>\lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l'</m> | * <m>\lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l prime</m> |
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| ==== Limites de quotients ==== | ==== Limites de quotients ==== |
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| Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l'</m>, avec <m>l' \≠ 0</m>, alors : | Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, avec <m>l prime ≠ 0</m>, alors : |
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| | <m>\lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l prime)</m> |
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| <m>\lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l')</m> | |
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| ===== Chapitre 5 : Suites monotones et bornées ===== | ===== Chapitre 5 : Suites monotones et bornées ===== |
| ==== Suites monotones ==== | ==== Suites monotones ==== |
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| Une suite est dite **croissante** si <m>u_{n+1} \>= u_n</m> pour tout <m>n in \ bbN </m>. Elle est dite **décroissante** si <m>u_{n+1} \<= u_n</m> pour tout <m>n in \ bbN </m>. | Une suite est dite **croissante** si <m>u_{n+1} \>= u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Elle est dite **décroissante** si <m>u_{n+1} \<= u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>. |
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| ==== Suites bornées ==== | ==== Suites bornées ==== |
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| Une suite est dite **bornée** s'il existe un nombre réel <m>M</m> tel que <m>|u_n| \<= M</m> pour tout <m>n in \ bbN </m>. | Une suite est dite **bornée** s'il existe un nombre réel <m>M</m> tel que <m>|u_n| \<= M</m> pour tout <m>n in bbN</m>. |
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| ==== Théorème de la convergence monotone ==== | ==== Théorème de la convergence monotone ==== |
