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--- cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:limites_de_fonction [2025/07/08 00:29] – [Existence de la limite] prof67
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 ===== Chapitre 1 : Introduction aux limites =====
-==== Définition intuitive d'une limite ====
+==== 1.1 Notion intuitive de limite ====
-L'idée de limite est fondamentale en analyse. Intuitivement, la limite d'une fonction <m>f(x)</m> lorsque <m>x</m> tend vers <m>a</m> est la valeur vers laquelle <m>f(x)</m> se rapproche de plus en plus lorsque <m>x</m> se rapproche de <m>a</m>, sans nécessairement atteindre cette valeur.
+L'idée de limite est fondamentale en analyse. Intuitivement, la limite d'une fonction <m>f(x)</m> lorsque <m>x</m> tend vers <m>a</m> est la valeur vers laquelle la fonction semble se rapprocher lorsque <m>x</m> se rapproche de <m>a</m>. Il est important de noter que la fonction n'a pas nécessairement besoin d'être définie en <m>x = a</m> pour qu'une limite existe.
-Exemple : Considérons la fonction <m>f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)</m>. On peut remarquer que <m>f(1)</m> n'est pas définie. Cependant, lorsque <m>x</m> se rapproche de 1, <m>f(x)</m> se rapproche de 2. On dit que la limite de <m>f(x)</m> lorsque <m>x</m> tend vers 1 est 2.
+**Exemple :** Considérons la fonction <m>f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)</m>. Cette fonction n'est pas définie en <m>x = 1</m>. Cependant, pour <m>x</m> proche de 1 (mais différent de 1), <m>f(x)</m> se rapproche de 2. On dit que la limite de <m>f(x)</m> lorsque <m>x</m> tend vers 1 est 2.
-==== Notation de la limite ====
+==== 1.2 Notation et définition ====
-On écrit : <m>\lim_{x right a} f(x) = L</m>, ce qui signifie que la limite de <m>f(x)</m> lorsque <m>x</m> tend vers <m>a</m> est <m>L</m>.
+On écrit <m>\lim_{x right a} f(x) = L</m> pour dire que la limite de <m>f(x)</m> lorsque <m>x</m> tend vers <m>a</m> est <m>L</m>. Cette notation signifie que pour tout intervalle ouvert contenant <m>L</m>, il existe un intervalle ouvert contenant <m>a</m> tel que pour tout <m>x</m> dans cet intervalle (sauf éventuellement <m>x = a</m>), <m>f(x)</m> est dans l'intervalle contenant <m>L</m>.
-==== Limites finies et infinies ====
+===== Chapitre 2 : Limites finies =====
-  * **Limite finie :** La limite est un nombre réel <m>L</m>.
+==== 2.1 Calcul de limites simples ====
-  * **Limite infinie :** La limite est l'infini (<m>+infty</m> ou <m>-infty</m>). Cela signifie que la fonction croît ou décroît indéfiniment lorsque <m>x</m> se rapproche de <m>a</m>.
-===== Chapitre 2 : Limites à gauche et à droite =====
+Pour calculer des limites simples, on peut souvent utiliser des manipulations algébriques :
-==== Définition des limites unilatérales ====
+  * **Substitution directe :** Si <m>f(x)</m> est continue en <m>a</m>, alors <m>\lim_{x right a} f(x) = f(a)</m>.
+  * **Factorisation :** Pour les fonctions rationnelles, on peut factoriser le numérateur et le dénominateur pour simplifier l'expression et éliminer les indéterminations.
+  * **Rationalisation :** Pour les fonctions contenant des racines carrées, on peut rationaliser le numérateur ou le dénominateur.
-Pour que la limite d'une fonction existe en un point <m>a</m>, il est nécessaire que les limites à gauche et à droite en ce point existent et soient égales.
+**Exemple :** <m>\lim_{x right 2} (x^2 + 3x - 1) = 2^2 + 3 . 2 - 1 = 9</m>.
-  * **Limite à gauche :** <m>\lim_{x right a^-} f(x)</m> (on se rapproche de <m>a</m> par des valeurs inférieures à <m>a</m>).
+==== 2.2 Formes indéterminées ====
-  * **Limite à droite :** <m>\lim_{x right a^+} f(x)</m> (on se rapproche de <m>a</m> par des valeurs supérieures à <m>a</m>).
-==== Existence de la limite ====
+Certaines expressions conduisent à des formes indéterminées, telles que <m>(0)/(0)</m> ou <m>(infty)/(infty)</m>. Dans ces cas, des manipulations algébriques plus poussées sont nécessaires.
-La limite <m>\lim_{x right a} f(x)</m> existe si et seulement si <m>\lim_{x right a^-} f(x) = \lim_{x right a^+} f(x)</m>. Dans ce cas, <m>\lim_{x right a} f(x) = \lim_{x right a^-} f(x) = \lim_{x right a^+} f(x)</m>.
+===== Chapitre 3 : Limites infinies =====
-Exemple : Soit <m>f(x) = begin{cases} x & si  x < 1 \\ 2 & si  x = 1 \\ x + 1 & si  x > 1 end{cases}</m>.
+==== 3.1 Limites infinies à l'infini ====
-<m>\lim_{x right 1^-} f(x) = 1</m> et <m>\lim_{x right 1^+} f(x) = 2</m>. La limite <m>\lim_{x right 1} f(x)</m> n'existe pas.
-===== Chapitre 3 : Formes indéterminées =====
+Lorsque <m>x</m> devient très grand (positif ou négatif), la fonction peut tendre vers l'infini. On écrit <m>\lim_{x right infty} f(x) = infty</m> ou <m>\lim_{x right -infty} f(x) = -infty</m>.
-==== Identification des formes indéterminées ====
+==== 3.2 Limites infinies en un point ====
-Certaines expressions conduisent à des formes indéterminées, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont :
+Lorsque <m>x</m> s'approche d'un point <m>a</m>, la fonction peut tendre vers l'infini. On écrit <m>\lim_{x right a} f(x) = infty</m> ou <m>\lim_{x right a} f(x) = -infty</m>.
-  * <m>(0)/(0)</m>
+===== Chapitre 4 : Limites et continuité =====
-  * <m>(infty)/(infty)</m>
-  * <m>0 . infty</m>
-  * <m>infty - infty</m>
-  * <m>0^0</m>
-  * <m>1^infty</m>
-==== Méthodes de lever les formes indéterminées ====
+==== 4.1 Définition de la continuité ====
-Pour lever une forme indéterminée, on peut utiliser différentes techniques :
+Une fonction <m>f(x)</m> est continue en un point <m>a</m> si et seulement si :
-  * **Factorisation :** Simplifier l'expression en factorisant le numérateur et le dénominateur.
+  - <m>f(a)</m> est définie.
-  * **Conjuguée :** Multiplier par la conjuguée pour éliminer les racines carrées.
+  - <m>\lim_{x right a} f(x)</m> existe.
-  * **Développement :** Développer l'expression pour simplifier.
+  - <m>\lim_{x right a} f(x) = f(a)</m>.
-  * **Règle de l'Hôpital :** (Non au programme de Terminale Générale)
-===== Chapitre 4 : Limites de sommes, produits et quotients =====
+==== 4.2 Conséquences de la continuité ====
-==== Limites de sommes et de produits ====
+Les fonctions continues possèdent des propriétés importantes, telles que le théorème des valeurs intermédiaires (TVI).
-Si <m>\lim_{x right a} f(x) = L_1</m> et <m>\lim_{x right a} g(x) = L_2</m>, alors :
+===== Chapitre 5 : Théorème des gendarmes =====
-  * <m>\lim_{x right a} (f(x) + g(x)) = L_1 + L_2</m>
+==== 5.1 Énoncé du théorème ====
-  * <m>\lim_{x right a} (f(x) . g(x)) = L_1 . L_2</m>
-==== Limite d'un quotient ====
+Si <m>f(x)</m>, <m>g(x)</m> et <m>h(x)</m> sont des fonctions telles que <m>f(x) \<= g(x) \<= h(x)</m> pour tout <m>x</m> dans un intervalle ouvert contenant <m>a</m> (sauf éventuellement en <m>a</m>), et si <m>\lim_{x right a} f(x) = \lim_{x right a} h(x) = L</m>, alors <m>\lim_{x right a} g(x) = L</m>.
-Si <m>\lim_{x right a} f(x) = L_1</m> et <m>\lim_{x right a} g(x) = L_2 \≠ 0</m>, alors :
+==== 5.2 Applications ====
-<m>\lim_{x right a} (f(x))/(g(x)) = (L_1)/(L_2)</m>
+Le théorème des gendarmes est utile pour calculer des limites de fonctions qui ne peuvent pas être traitées directement.
-===== Chapitre 5 : Limites et inégalités =====
+===== Chapitre 6 : Limites et comparaison =====
-==== Théorème de comparaison (encadrement) ====
+==== 6.1 Ordre de grandeur ====
-Si <m>f(x) \<= g(x)</m> au voisinage de <m>a</m> et si <m>\lim_{x right a} f(x) = L</m> et <m>\lim_{x right a} g(x) = L</m>, alors <m>\lim_{x right a} f(x) = \lim_{x right a} g(x) = L</m>.
+Comparer les ordres de grandeur de différentes fonctions permet de déterminer leur comportement asymptotique.
-==== Théorème des gendarmes (encadrement) ====
+==== 6.2 Utilisation des limites pour comparer les fonctions ====
-Si <m>f(x) \<= g(x) \<= h(x)</m> au voisinage de <m>a</m> et si <m>\lim_{x right a} f(x) = \lim_{x right a} h(x) = L</m>, alors <m>\lim_{x right a} g(x) = L</m>.
+On peut utiliser les limites pour déterminer quelle fonction croît le plus rapidement lorsque <m>x</m> tend vers l'infini.
-===== Chapitre 6 : Limites infinies et asymptotes =====
+===== Chapitre 7 : Applications aux fonctions rationnelles =====
-==== Limites infinies ====
+==== 7.1 Étude des asymptotes verticales ====
-Si <m>f(x)</m> tend vers <m>+infty</m> ou <m>-infty</m> lorsque <m>x</m> tend vers <m>a</m>, on dit que <m>f(x)</m> a une limite infinie en <m>a</m>.
+Les asymptotes verticales se trouvent aux points où le dénominateur d'une fonction rationnelle s'annule et le numérateur ne s'annule pas.
-==== Asymptotes verticales ====
+==== 7.2 Étude des asymptotes horizontales ====
-Si <m>\lim_{x right a} f(x) = pm infty</m>, alors la droite <m>x = a</m> est une asymptote verticale de la courbe représentative de <m>f(x)</m>.
+Les asymptotes horizontales se trouvent en calculant les limites de la fonction lorsque <m>x</m> tend vers l'infini ou moins l'infini.
-==== Asymptotes horizontales ====
+===== Chapitre 8 : Exercices et problèmes =====
-Si <m>\lim_{x right pm infty} f(x) = L</m>, alors la droite <m>y = L</m> est une asymptote horizontale de la courbe représentative de <m>f(x)</m>.
+==== 8.1 Exercice 1 ====
-===== Chapitre 7 : Limites trigonométriques =====
+Calculer la limite suivante : <m>\lim_{x right 3} (x^2 - 9)/(x - 3)</m>.
-==== Limites usuelles ====
+*Corrigé :* <m>\lim_{x right 3} (x^2 - 9)/(x - 3) = \lim_{x right 3} ((x - 3)(x + 3))/(x - 3) = \lim_{x right 3} (x + 3) = 6</m>.
-  * <m>\lim_{x right 0} (sin(x))/(x) = 1</m>
+==== 8.2 Exercice 2 ====
-  * <m>\lim_{x right 0} (1 - cos(x))/(x) = 0</m>
-Ces limites sont fondamentales pour le calcul de nombreuses autres limites impliquant des fonctions trigonométriques.
+Calculer la limite suivante : <m>\lim_{x right infty} (2x^2 + 1)/(x^2 - 3)</m>.
-===== Chapitre 8 : Applications et exercices =====
+*Corrigé :* <m>\lim_{x right infty} (2x^2 + 1)/(x^2 - 3) = \lim_{x right infty} (2 + frac{1)/(x^2)}{1 - (3)/(x^2)} = (2 + 0)/(1 - 0) = 2</m>.
-==== Exercice 1 : ====
-Calculer la limite suivante : <m>\lim_{x right 2} (x^2 - 4)/(x - 2)</m>.
-**Corrigé :**
-<m>\lim_{x right 2} (x^2 - 4)/(x - 2) = \lim_{x right 2} ((x - 2)(x + 2))/(x - 2) = \lim_{x right 2} (x + 2) = 4</m>.
-==== Exercice 2 : ====
-Calculer la limite suivante : <m>\lim_{x right 0} (sin(3x))/(x)</m>.
-**Corrigé :**
-<m>\lim_{x right 0} (sin(3x))/(x) = \lim_{x right 0} 3 . (sin(3x))/(3x) = 3 . 1 = 3</m>.
 ===== Résumé =====
-  * **Limite d'une fonction :** Valeur vers laquelle une fonction tend lorsque sa variable se rapproche d'une valeur donnée.
+  * **Limite d'une fonction :** La valeur vers laquelle une fonction tend lorsque sa variable s'approche d'une certaine valeur.
   * **Limite finie :** <m>\lim_{x right a} f(x) = L</m>, où <m>L</m> est un nombre réel.
-  * **Limite infinie :** <m>\lim_{x right a} f(x) = pm infty</m>.
+  * **Limite infinie :** <m>\lim_{x right a} f(x) = pm infty</m> ou <m>\lim_{x right infty} f(x) = pm infty</m>.
-  * **Limites à gauche et à droite :** <m>\lim_{x right a^-} f(x)</m> et <m>\lim_{x right a^+} f(x)</m>.
+  * **Continuité :** Une fonction est continue en un point si elle est définie en ce point, si sa limite existe en ce point, et si la limite est égale à la valeur de la fonction en ce point.
-  * **Formes indéterminées :** <m>(0)/(0)</m>, <m>(infty)/(infty)</m>, <m>0 . infty</m>, <m>infty - infty</m>, <m>0^0</m>, <m>1^infty</m>.
-  * **Théorème de comparaison :** Si <m>f(x) \<= g(x)</m> et <m>\lim_{x right a} f(x) = \lim_{x right a} g(x) = L</m>, alors <m>\lim_{x right a} f(x) = L</m>.
   * **Théorème des gendarmes :** Si <m>f(x) \<= g(x) \<= h(x)</m> et <m>\lim_{x right a} f(x) = \lim_{x right a} h(x) = L</m>, alors <m>\lim_{x right a} g(x) = L</m>.
-  * **Asymptotes verticales :** Droites <m>x = a</m> telles que <m>\lim_{x right a} f(x) = pm infty</m>.
+  * **Formes indéterminées :** Expressions telles que <m>(0)/(0)</m> ou <m>(infty)/(infty)</m> qui nécessitent des manipulations algébriques pour être résolues.
-  * **Asymptotes horizontales :** Droites <m>y = L</m> telles que <m>\lim_{x right pm infty} f(x) = L</m>.
+  * **Asymptotes :** Droites auxquelles la fonction se rapproche infiniment.
-  * **Limites trigonométriques usuelles :** <m>\lim_{x right 0} (sin(x))/(x) = 1</m> et <m>\lim_{x right 0} (1 - cos(x))/(x) = 0</m>.
+  * **Calcul de limites :** Utilisation de factorisation, rationalisation, substitution directe, et théorème des gendarmes.