Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:la_fonction_ln [2025/09/20 20:51] – [Résumé] prof67
+++ cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:la_fonction_ln [2025/09/20 21:06] (Version actuelle) – prof67
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 ==== 1.1 Définition et origine du logarithme népérien ====
-La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction inverse de la fonction exponentielle de base *e* (nombre d'Euler, environ 2,71828). Cela signifie que pour tout nombre réel *x* positif, ln(*x*) est l'unique nombre réel *y* tel que <m>e^y = x</m>.
+La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction inverse de la fonction exponentielle de base <m>e</m> (nombre d'Euler, environ 2,71828). Cela signifie que pour tout nombre réel <m>x</m> positif, <m>ln(x)</m> est l'unique nombre réel <m>y</m> tel que <m>e^y = x</m>.
-**Définition :** Pour tout nombre réel *x* strictement positif, ln(*x*) est le nombre réel *y* tel que <m>e^y = x</m>.
+**Définition :** Pour tout nombre réel x strictement positif, ln(x) est le nombre réel <m>y</m> tel que <m>e^y = x</m>.
 On peut écrire : <m>y = ln(x) leftright e^y = x</m>
-Le logarithme népérien répond à la question : "À quelle puissance faut-il élever *e* pour obtenir *x* ?"
+Le logarithme népérien répond à la question : "À quelle puissance faut-il élever <m>e</m> pour obtenir <m>x</m>?"
 ==== 1.2 Propriétés de base ====
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   * **ln(1) = 0** car <m>e^0 = 1</m>.
   * **ln(e) = 1** car <m>e^1 = e</m>.
-  * **ln(e^x) = x** pour tout nombre réel *x*.
+  * **ln(<m>e^x</m>) = x** pour tout nombre réel x.
-  * **e^(ln(x)) = x** pour tout nombre réel *x* strictement positif.
+  * **<m>e^{ln(x)}</m> = x** pour tout nombre réel x strictement positif.
 ==== 1.3 Domaine de définition et représentation graphique ====
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 **Propriété :** Pour tous nombres réels *a* et *b* strictement positifs, ln(*a* × *b*) = ln(*a*) + ln(*b*).
-***Exemple :*** ln(2 × 3) = ln(2) + ln(3)
+**Exemple :** ln(2 × 3) = ln(2) + ln(3)
 ==== 2.2 Logarithme d'un quotient ====
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 **Propriété :** Pour tous nombres réels *a* et *b* strictement positifs, ln(*a* / *b*) = ln(*a*) - ln(*b*).
-***Exemple :*** ln(6 / 2) = ln(6) - ln(2)
+**Exemple :** ln(6 / 2) = ln(6) - ln(2)
 ==== 2.3 Logarithme d'une puissance ====
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 **Propriété :** Pour tout nombre réel *a* strictement positif et tout nombre réel *n*, ln(<m>a^n</m>) = *n* × ln(*a*).
-***Exemple :*** ln(<m>2^3</m>) = 3 × ln(2)
+**Exemple :** ln(<m>2^3</m>) = 3 × ln(2)
 ===== Chapitre 3 : Dérivée et intégrale de la fonction ln =====
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 La dérivée de la fonction ln est une fonction simple.
-**Propriété :** Pour tout nombre réel *x* strictement positif, la dérivée de ln(*x*) est <m>(1)/(x)</m>.
+**Propriété :** Pour tout nombre réel x strictement positif, la dérivée de ln(x) est <m>(1)/(x)</m>.
 On écrit : <m>(ln(x))prime = (1)/(x)</m>
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 L'intégrale de la fonction ln peut être calculée par intégration par parties.
-**Propriété :** Pour tout nombre réel *x* strictement positif, <m>int ln(x)  dx = x ln(x) - x + C</m>, où C est une constante d'intégration.
+**Propriété :** Pour tout nombre réel x strictement positif, <m>int ln(x)  dx = x ln(x) - x + C</m>, où C est une constante d'intégration.
 ==== 3.3 Applications ====
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 ==== 4.1 Résolution d'équations de la forme ln(x) = a ====
-Pour résoudre une équation de la forme ln(*x*) = *a*, on utilise la propriété inverse de la fonction ln et de la fonction exponentielle.
+Pour résoudre une équation de la forme ln(x) = *a*, on utilise la propriété inverse de la fonction ln et de la fonction exponentielle.
-**Méthode :** ln(*x*) = *a* ⇔ <m>x = e^a</m>
+**Méthode :** ln(x) = a ⇔ <m>x = e^a</m>
-***Exemple :*** ln(*x*) = 2 ⇔ <m>x = e^2</m>
+**Exemple :** ln(x) = 2 ⇔ <m>x = e^2</m>
 ==== 4.2 Résolution d'inéquations de la forme ln(x) > a ====
-Pour résoudre une inéquation de la forme ln(*x*) > *a*, on utilise également la propriété inverse de la fonction ln et de la fonction exponentielle. Il faut tenir compte du domaine de définition de la fonction ln.
+Pour résoudre une inéquation de la forme ln(x) > *a*, on utilise également la propriété inverse de la fonction ln et de la fonction exponentielle. Il faut tenir compte du domaine de définition de la fonction ln.
-**Méthode :** ln(*x*) > *a* ⇔ <m>x > e^a</m> (si *x* > 0)
+**Méthode :** ln(x) > *a* ⇔ <m>x > e^a</m> (si x > 0)
-***Exemple :*** ln(*x*) > 1 ⇔ <m>x > e</m>
+**Exemple :** ln(x) > 1 ⇔ <m>x > e</m>
 ==== 4.3 Exercices corrigés ====
-**Exercice 1 :** Résoudre l'équation ln(2*x* - 1) = 3.
+**Exercice 1 :** Résoudre l'équation ln(2x - 1) = 3.
 **Corrigé :**
-  - Condition d'existence : 2*x* - 1 > 0 ⇔ <m>x > (1)/(2)</m>
+  - Condition d'existence : 2x - 1 > 0 ⇔ <m>x > (1)/(2)</m>
-  - Application de la propriété inverse : 2*x* - 1 = <m>e^3</m>
+  - Application de la propriété inverse : 2x - 1 = <m>e^3</m>
-  - Résolution de l'équation : 2*x* = <m>e^3</m> + 1 ⇔ <m>x = (e^3 + 1)/(2)</m>
+  - Résolution de l'équation : 2x = <m>e^3</m> + 1 ⇔ <m>x = (e^3 + 1)/(2)</m>
   - Vérification de la condition d'existence : <m>(e^3 + 1)/(2) > (1)/(2)</m> (vrai)
   - Solution : <m>x = (e^3 + 1)/(2)</m>
-**Exercice 2 :** Résoudre l'inéquation ln(*x* + 2) < 0.
+**Exercice 2 :** Résoudre l'inéquation ln(x + 2) < 0.
 **Corrigé :**
-  - Condition d'existence : *x* + 2 > 0 ⇔ *x* > -2
+  - Condition d'existence : x + 2 > 0 ⇔ x > -2
-  - Application de la propriété inverse : *x* + 2 < <m>e^0</m> ⇔ *x* + 2 < 1
+  - Application de la propriété inverse : x + 2 < <m>e^0</m> ⇔ x + 2 < 1
-  - Résolution de l'inéquation : *x* < -1
+  - Résolution de l'inéquation : x < -1
   - Vérification de la condition d'existence : -1 > -2 (vrai)
-  - Solution : *x* < -1
+  - Solution : x < -1
 ===== Résumé =====