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| cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:la_fonction_exponentielle [2025/09/20 19:45] – [Prérequis] prof67 | cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:la_fonction_exponentielle [2025/09/20 20:30] (Version actuelle) – [3.3 Exemples] prof67 |
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| | ====== La fonction exponentielle ====== |
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| | ===== Prérequis ===== |
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| | Pour aborder l'étude de la fonction exponentielle, il est essentiel de maîtriser les concepts suivants acquis en classes précédentes : |
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| ===== Définition et propriétés fondamentales ===== | * **Seconde :** Notions de base sur les fonctions, représentation graphique d'une fonction, vocabulaire associé (domaine de définition, image, antécédents). |
| | * **Première :** Manipulation des puissances (propriétés des exposants), fonctions polynomiales, fonctions rationnelles, logarithmes (définition et propriétés de base). |
| | * **Notion de limite** : Comprendre la notion de limite d'une fonction en un point et à l'infini. |
| | * **Nombre *e*** : Connaître l'existence du nombre *e* et sa valeur approximative (2,718). |
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| ====== La fonction exponentielle ====== | Ce cours s'inscrit dans le chapitre dédié aux fonctions de référence en Terminale, après l'étude des fonctions polynomiales, rationnelles et trigonométriques. Il prépare les élèves aux notions plus avancées rencontrées en mathématiques supérieures, notamment en analyse et en probabilités. |
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| ===== Prérequis ===== | ===== Chapitre 1 : Définition et propriétés de la fonction exponentielle ===== |
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| Avant d'aborder la fonction exponentielle, il est indispensable de maîtriser les notions suivantes vues dans les classes antérieures : | ==== 1.1 Définition de la fonction exponentielle ==== |
| * Les propriétés des puissances (entières et rationnelles). | |
| * La fonction logarithme népérien (ln). | |
| * La dérivation des fonctions usuelles. | |
| * La résolution d'équations et d'inéquations. | |
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| Ce cours sur la fonction exponentielle se situe généralement vers le début de l'année de Terminale Générale en mathématiques. Il fait suite à l'étude de la fonction logarithme népérien et précède souvent l'étude des nombres complexes et des équations différentielles. Il permet de consolider les compétences en analyse et de préparer à des applications plus complexes. | La fonction exponentielle, notée <m>f(x) = e^x</m>, où *e* est un nombre irrationnel d'environ 2,71828, est une fonction fondamentale en mathématiques. Elle est définie pour tout nombre réel *x*. |
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| ===== Définition et propriétés fondamentales ===== | **Définition :** La fonction exponentielle de base *e*, notée <m>e^x</m>, est la fonction définie sur ℝ par <m>e^x = sum{k=0}{infty}(x^k/{k!})</m>. |
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| ==== Définition de la fonction exponentielle ==== | Cette définition, bien que formelle, peut paraître abstraite. Il est important de retenir que <m>e^x</m> représente une croissance (si *x* > 0) ou une décroissance (si *x* < 0) rapide. |
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| La **fonction exponentielle**, notée exp, est l'unique fonction dérivable sur <m>bbR</m> telle que : | ==== 1.2 Propriétés de la fonction exponentielle ==== |
| * <m>exp prime(x) = exp(x)</m> pour tout <m>x in bbR</m>. | |
| * <m>exp(0) = 1</m>. | |
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| Une notation courante pour <m>exp(x)</m> est <m>e^x</m>, où <m>e</m> est le nombre d'Euler (ou constante de Néper), approximativement égal à 2.71828. On a donc <m>exp(1) = e approx 2.718</m>. | La fonction exponentielle possède des propriétés remarquables qui la rendent particulièrement utile : |
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| * **Question de réflexion :** Pourquoi est-il important que la fonction exponentielle soit l'unique fonction avec ces propriétés ? | * <m>e^0 = 1</m> |
| | * <m>e^{a+b} = e^a . e^b</m> |
| | * <m>e^{a-b} = (e^a)/(e^b)</m> |
| | * <m>(e^a)^b = e^{ab}</m> |
| | * <m>e^{-x} = (1)/(e^x)</m> |
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| ==== Propriétés algébriques ==== | Ces propriétés découlent directement de la définition de l'exponentielle et sont essentielles pour simplifier les expressions et résoudre les équations. |
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| La fonction exponentielle possède des propriétés algébriques essentielles : | ==== 1.3 Représentation graphique ==== |
| * Pour tous réels <m>a</m> et <m>b</m>, <m>exp(a+b) = exp(a) . exp(b)</m>, soit <m>e^{a+b} = e^a . e^b</m>. | |
| * Pour tout réel <m>a</m>, <m>exp(-a) = {1}/{exp(a)}</m>, soit <m>e^{-a} = {1}/{e^a}</m>. | |
| * Pour tous réels <m>a</m> et <m>b</m>, <m>exp(a-b) = {exp(a)}/{exp(b)}</m>, soit <m>e^{a-b} = {e^a}/{e^b}</m>. | |
| * Pour tout réel <m>a</m> et tout entier relatif <m>n</m>, <m>exp(n a) = (exp(a))^n</m>, soit <m>e^{n a} = (e^a)^n</m>. | |
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| * **Exemple :** Simplifiez l'expression <m>e^{2x} . e^{-x+1}</m>. | La courbe représentative de la fonction <m>y = e^x</m> passe par le point (0, 1) et est toujours au-dessus de l'axe des abscisses. Elle est croissante sur tout son domaine de définition. |
| <m>e^{2x} . e^{-x+1} = e^{2x + (-x+1)} = e^{x+1}</m>. | |
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| ==== Lien avec le logarithme népérien ==== | ===== Chapitre 2 : Dérivée et intégrale de la fonction exponentielle ===== |
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| La fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithme népérien (ln). Cela signifie que : | ==== 2.1 Dérivée de la fonction exponentielle ==== |
| * Pour tout réel <m>x</m>, <m>ln(exp(x)) = x</m>, soit <m>ln(e^x) = x</m>. | |
| * Pour tout réel <m>x > 0</m>, <m>exp(ln(x)) = x</m>, soit <m>e^{ln(x)} = x</m>. | |
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| Cette propriété est fondamentale pour résoudre des équations impliquant des exponentielles et des logarithmes. | La dérivée de la fonction exponentielle est particulièrement simple : |
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| * **Exemple :** Résolvez l'équation <m>e^x = 5</m>. | **Théorème :** La dérivée de la fonction <m>f(x) = e^x</m> est <m>f'(x) = e^x</m>. |
| En appliquant la fonction logarithme népérien aux deux membres, on obtient : | |
| <m>ln(e^x) = ln(5)</m>, soit <m>x = ln(5)</m>. | |
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| ===== Étude de la fonction exponentielle ===== | Cette propriété est unique : la fonction exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée. |
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| ==== Variations et limites ==== | ==== 2.2 Intégrale de la fonction exponentielle ==== |
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| La fonction exponentielle est strictement croissante sur <m>bbR</m>. De plus : | L'intégrale de la fonction exponentielle est également simple : |
| * <m>lim_{x to -infty} e^x = 0</m>. | |
| * <m>lim_{x to +infty} e^x = +infty</m>. | |
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| * **Question de réflexion :** Comment ces limites se traduisent-elles graphiquement ? | **Théorème :** Une primitive de la fonction <m>f(x) = e^x</m> est <m>F(x) = e^x + C</m>, où C est une constante réelle. |
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| ==== Dérivée et convexité ==== | ==== 2.3 Applications ==== |
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| La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même : <m>(exp(x)) prime = exp(x)</m>. | Ces propriétés de dérivation et d'intégration sont utilisées dans de nombreux domaines, tels que la modélisation de la croissance démographique, la désintégration radioactive, ou encore la résolution d'équations différentielles. |
| La dérivée seconde est aussi <m>exp(x)</m>, qui est positive sur <m>bbR</m>. Cela signifie que la fonction exponentielle est convexe sur <m>bbR</m>. | |
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| ==== Représentation graphique ==== | ===== Chapitre 3 : Équations et inéquations exponentielles ===== |
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| La courbe représentative de la fonction exponentielle est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (car <m>e^x > 0</m> pour tout <m>x in bbR</m>). Elle passe par le point de coordonnées (0, 1) et sa pente en ce point est égale à 1. La courbe s'approche de l'axe des abscisses lorsque <m>x</m> tend vers <m>-infty</m> (asymptote horizontale). | ==== 3.1 Résolution d'équations exponentielles ==== |
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| ===== Applications de la fonction exponentielle ===== | Pour résoudre une équation exponentielle de la forme <m>e^{ax+b} = c</m>, on utilise la fonction logarithique népérienne (ln), qui est la fonction inverse de la fonction exponentielle. |
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| ==== Modèles d'évolution ==== | **Méthode :** |
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| La fonction exponentielle est utilisée pour modéliser de nombreux phénomènes d'évolution, tels que : | - Appliquer le logarithme népérien aux deux membres de l'équation : <m>ln(e^{ax+b}) = ln(c)</m>. |
| * La croissance d'une population (bactéries, animaux). | - Simplifier : <m>ax + b = ln(c)</m>. |
| * La désintégration radioactive. | - Résoudre l'équation linéaire en *x* : <m>x = (ln(c) - b)/(a)</m>. |
| * L'évolution d'un capital à intérêts composés. | |
| * La charge et la décharge d'un condensateur dans un circuit RC. | |
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| * **Exemple :** Une population de bactéries double toutes les heures. Si la population initiale est de 1000 bactéries, quelle sera la population après 5 heures ? | ==== 3.2 Résolution d'inéquations exponentielles ==== |
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| Soit <m>P(t)</m> la population au temps <m>t</m> (en heures). On a <m>P(t) = P_0 . e^{kt}</m>, où <m>P_0</m> est la population initiale et <m>k</m> est le taux de croissance. Comme la population double toutes les heures, <m>P(1) = 2 P_0</m>. Donc, <m>2 P_0 = P_0 . e^k</m>, ce qui implique <m>e^k = 2</m> et <m>k = ln(2)</m>. | Pour résoudre une inéquation exponentielle de la forme <m>e^{ax+b} > c</m>, on procède de manière similaire : |
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| Après 5 heures, la population sera <m>P(5) = 1000 . e^{5.ln(2)} = 1000 . e^{ln(2^5)} = 1000 . 2^5 = 1000 . 32 = 32000</m> bactéries. | - Appliquer le logarithme népérien aux deux membres de l'inéquation : <m>ln(e^{ax+b}) > ln(c)</m>. |
| | - Simplifier : <m>ax + b > ln(c)</m>. |
| | - Résoudre l'inéquation linéaire en *x* : <m>x > (ln(c) - b)/(a)</m> (si *a* > 0) ou <m>x < (ln(c) - b)/(a)</m> (si *a* < 0). |
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| ==== Équations différentielles ==== | ==== 3.3 Exemples ==== |
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| La fonction exponentielle est une solution fondamentale de l'équation différentielle <m>y prime = k y</m>, où <m>k</m> est une constante réelle. Les solutions de cette équation sont de la forme <m>y(x) = C e^{kx}</m>, où <m>C</m> est une constante arbitraire. | **Exemple 1 :** Résoudre l'équation <m>e^{2x-1} = 5</m>. |
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| * **Exemple :** Trouvez la solution de l'équation différentielle <m>y prime = 2 y</m> telle que <m>y(0) = 3</m>. | <m>ln(e^{2x-1}) = ln(5)</m> |
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| La solution générale est de la forme <m>y(x) = C e^{2x}</m>. Pour déterminer la constante <m>C</m>, on utilise la condition initiale <m>y(0) = 3</m>. Donc, <m>3 = C e^{2 . 0} = C . e^0 = C</m>. Ainsi, <m>C = 3</m> et la solution est <m>y(x) = 3 e^{2x}</m>. | <m>2x - 1 = ln(5)</m> |
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| ==== Probabilités et statistiques ==== | <m>2x = ln(5) + 1</m> |
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| La fonction exponentielle intervient dans de nombreuses lois de probabilité, notamment la loi exponentielle, qui modélise la durée de vie sans vieillissement (par exemple, la durée de fonctionnement d'un appareil). | <m>x = (ln(5) + 1)/(2) approx 1,307</m> |
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| ===== Croissances comparées et compléments ===== | **Exemple 2 :** Résoudre l'inéquation <m>e^{-x+2} < 3</m>. |
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| ==== Croissances comparées ==== | <m>ln(e^{-x+2}) < ln(3)</m> |
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| Il est important de connaître les croissances comparées des fonctions exponentielle, puissance et logarithme : | <m>-x + 2 < ln(3)</m> |
| * <m>lim_{x to +infty} {e^x}/{x^n} = +infty</m> pour tout entier <m>n</m>. La fonction exponentielle croît plus vite que toute fonction puissance. | |
| * <m>lim_{x to +infty} {ln(x)}/{x^n} = 0</m> pour tout entier <m>n > 0</m>. La fonction logarithme croît moins vite que toute fonction puissance. | |
| * <m>lim_{x to 0} x . ln(x) = 0</m>. | |
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| * **Exemple :** Calculez la limite <m>lim_{x to +infty} {e^x}/{x^2}</m>. | <m>-x < ln(3) - 2</m> |
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| D'après les croissances comparées, <m>lim_{x to +infty} {e^x}/{x^2} = +infty</m>. | <m>x > 2 - ln(3) approx 0,901</m> |
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| ==== Forme exponentielle complexe ==== | ===== Chapitre 4 : Applications de la fonction exponentielle ===== |
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| Pour tout nombre complexe <m>z = x + i y</m>, où <m>x</m> et <m>y</m> sont des réels et <m>i</m> est l'unité imaginaire (<m>i^2 = -1</m>), on définit l'exponentielle complexe par : | ==== 4.1 Modélisation de la croissance et de la décroissance ==== |
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| <m>e^z = e^{x+iy} = e^x . (cos(y) + i sin(y))</m>. | La fonction exponentielle est utilisée pour modéliser de nombreux phénomènes de croissance ou de décroissance, tels que : |
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| Cette définition, connue sous le nom de **formule d'Euler**, relie l'exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques. | * **Croissance démographique :** <m>N (t) = N _0 e^{kt}</m>, où <m>N _0</m> est la population initiale, *k* est le taux de croissance, et *t* est le temps. |
| | * **Désintégration radioactive :** <m>N (t) = N _0 e^{-lambda t}</m>, où <m>N _0</m> est la quantité initiale de matière radioactive, <m>lambda</m> est la constante de désintégration, et *t* est le temps. |
| | * **Intérêt composé :** <m>C(t) = C_0 e^{rt}</m>, où <m>C_0</m> est le capital initial, *r* est le taux d'intérêt, et *t* est le temps. |
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| * **Exemple :** Exprimez <m>e^{i pi}</m> sous forme algébrique. | ==== 4.2 Applications en physique et en chimie ==== |
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| <m>e^{i pi} = e^{0 + i pi} = e^0 . (cos(pi) + i sin(pi)) = 1 . (-1 + i . 0) = -1</m>. | La fonction exponentielle apparaît également dans de nombreuses lois physiques et chimiques, telles que : |
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| ===== Résumé ===== | * **Loi de refroidissement de Newton :** La température d'un objet refroidit exponentiellement avec le temps. |
| | * **Loi d'action de masse :** La vitesse d'une réaction chimique dépend exponentiellement des concentrations des réactifs. |
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| * **Fonction exponentielle :** Unique fonction dérivable sur <m>bbR</m> telle que <m>exp prime(x) = exp(x)</m> et <m>exp(0) = 1</m>. Notée aussi <m>e^x</m>. | ==== 4.3 Applications en informatique ==== |
| * **Propriétés algébriques :** | |
| * <m>e^{a+b} = e^a . e^b</m> | |
| * <m>e^{-a} = {1}/{e^a}</m> | |
| * <m>e^{a-b} = {e^a}/{e^b}</m> | |
| * <m>e^{na} = (e^a)^n</m> | |
| * **Lien avec le logarithme népérien :** | |
| * <m>ln(e^x) = x</m> pour tout <m>x in bbR</m> | |
| * <m>e^{ln(x)} = x</m> pour tout <m>x > 0</m> | |
| * **Variations et limites :** | |
| * Strictement croissante sur <m>bbR</m> | |
| * <m>lim_{x to -infty} e^x = 0</m> | |
| * <m>lim_{x to +infty} e^x = +infty</m> | |
| * **Dérivée :** <m>(exp(x)) prime = exp(x)</m> | |
| * **Croissances comparées :** <m>lim_{x to +infty} {e^x}/{x^n} = +infty</m> et <m>lim_{x to +infty} {ln(x)}/{x^n} = 0</m> | |
| * **Formule d'Euler :** <m>e^{x+iy} = e^x . (cos(y) + i sin(y))</m> | |
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| | La fonction exponentielle est utilisée en informatique pour analyser la complexité des algorithmes et pour modéliser la croissance de la puissance de calcul. |
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| | ===== Résumé ===== |
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| | * **Fonction exponentielle :** <m>f(x) = e^x</m>, où *e* ≈ 2,71828. |
| | * **Propriétés :** <m>e^0 = 1</m>, <m>e^{a+b} = e^a . e^b</m>, <m>e^{a-b} = (e^a)/(e^b)</m>, <m>(e^a)^b = e^{ab}</m>, <m>e^{-x} = (1)/(e^x)</m>. |
| | * **Dérivée :** <m>(e^x)prime = e^x</m>. |
| | * **Intégrale :** <m>int e^x dx = e^x + C</m>. |
| | * **Équations exponentielles :** <m>e^{ax+b} = c doubleright x = (ln(c) - b)/(a)</m>. |
| | * **Inéquations exponentielles :** <m>e^{ax+b} > c doubleright x > (ln(c) - b)/(a)</m> (si *a* > 0) ou <m>x < (ln(c) - b)/(a)</m> (si *a* < 0). |
| | * **Applications :** Croissance démographique, désintégration radioactive, intérêt composé, lois physiques et chimiques, complexité algorithmique. |
