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-===== Applications sur les vecteurs =====
+===== Applications des vecteurs en sciences physiques =====
 ==== Prérequis ====
-Ce cours nécessite la maîtrise des notions de base sur les vecteurs : définition d'un vecteur, égalité de deux vecteurs, représentation graphique, opérations sur les vecteurs (addition, soustraction, multiplication par un scalaire). Ce chapitre s'inscrit dans la continuité du chapitre introductif sur les vecteurs et précède l'étude des produits scalaires et vectoriels. Il est généralement abordé au second trimestre de l'année de seconde.
+Ce cours nécessite une bonne compréhension des notions de vecteurs (somme, différence, produit scalaire) et des bases de la cinématique (vitesse, accélération). Il s'inscrit dans la continuité des chapitres sur les vecteurs et fait le lien direct avec les applications en physique, préparant ainsi aux cours de physique de seconde.
-==== Chapitre 1 : Coordonnées d'un vecteur et applications ====
+==== Chapitre 1 : Vecteurs et déplacement ====
-=== 1.1 Coordonnées d'un vecteur dans un repère ===
+=== 1.1 Le vecteur déplacement ===
-Dans un repère <m>(O; vec{i}, vec{j})</m>, un vecteur <m>vec{u}</m> peut être décomposé de manière unique sous la forme : <m>vec{u} = xvec{i} + yvec{j}</m>, où <m>x</m> et <m>y</m> sont des nombres réels appelés **coordonnées** du vecteur <m>vec{u}</m>. On note alors <m>vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</m>. <m>x</m> est l'abscisse et <m>y</m> l'ordonnée du vecteur.
+Le **vecteur déplacement** <m>vec{d}</m> relie un point de départ A à un point d'arrivée B. Il est caractérisé par :
-***Exemple :*** Dans le repère <m>(O; vec{i}, vec{j})</m>, si <m>vec{u} = 2vec{i} + 3vec{j}</m>, alors les coordonnées de <m>vec{u}</m> sont <m>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}</m>.
+  * Sa **direction** : la droite (AB).
+  * Son **sens** : de A vers B.
+  * Sa **norme** : la distance AB, notée <m>||vec{d}||</m> ou d.
-=== 1.2 Applications aux problèmes géométriques ===
+***Exemple :*** Un objet se déplace de 3 mètres vers l'est. Le vecteur déplacement a une norme de 3 mètres, une direction horizontale et un sens vers l'est.
-Les coordonnées permettent de résoudre facilement des problèmes de géométrie vectorielle.
+=== 1.2 Composition des déplacements ===
-**Exemple 1 :** Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment [AB] dont les extrémités A et B ont pour coordonnées respectives A(x<sub>A</sub>, y<sub>A</sub>) et B(x<sub>B</sub>, y<sub>B</sub>).
+Plusieurs déplacements successifs peuvent être représentés par une somme vectorielle. Le **déplacement résultant** est la somme vectorielle des déplacements individuels. On peut utiliser la méthode du parallélogramme ou la méthode de la relation de Chasles pour les calculer.
-  * Le vecteur <m>vec{AB}</m> a pour coordonnées <m>\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}</m>.
+***Exemple :*** Un marcheur se déplace de 5 mètres vers le nord puis de 12 mètres vers l'est. Son déplacement résultant est donné par <m>vec{d_{résultant}} = vec{d_1} + vec{d_2}</m>, avec <m>||vec{d_1}|| = 5 m</m> et <m>||vec{d_2}|| = 12 m</m>. La norme du déplacement résultant se calcule avec le théorème de Pythagore : <m>||vec{d_{résultant}}|| = sqrt{5^2 + 12^2} = 13 m</m>.
-  * Le milieu I de [AB] a pour coordonnées <m>\begin{pmatrix} (x_A + x_B) / (2) \\ (y_A + y_B) / (2) \end{pmatrix}</m>.
-**Exemple 2 :** Montrer que les points A(1,2), B(4,6) et C(7,10) sont alignés.
+==== Chapitre 2 : Vecteurs et forces ====
-  * Calculons les coordonnées des vecteurs <m>vec{AB}</m> et <m>vec{AC}</m> : <m>vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}</m> et <m>vec{AC} = \begin{pmatrix} 7-1 \\ 10-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}</m>.
+=== 2.1 Représentation vectorielle d'une force ===
-  * On remarque que <m>vec{AC} = 2vec{AB}</m>. Les vecteurs <m>vec{AB}</m> et <m>vec{AC}</m> sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés.
-**Exercice corrigé 1:** Soient A(2, -1) et B(5, 3). Déterminer les coordonnées du point M tel que <m>vec{AM} = 2vec{AB}</m>.
+Une **force** est une grandeur vectorielle caractérisée par :
-**Correction:** <m>vec{AM} = \begin{pmatrix} x_M - 2 \\ y_M + 1 \end{pmatrix}</m> et <m>vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}</m>. Donc <m>\begin{pmatrix} x_M - 2 \\ y_M + 1 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}</m>. Par conséquent, <m>x_M = 8</m> et <m>y_M = 7</m>. Les coordonnées de M sont (8, 7).
+  * Son **point d'application** : le point où la force agit.
+  * Sa **direction** : la droite d'action de la force.
+  * Son **sens** : le sens de l'action de la force.
+  * Son **intensité** : la norme du vecteur force, mesurée en Newtons (N).
-==== Chapitre 2 : Vecteurs et équations de droites ====
+***Exemple :*** Une force de 10 N tire un objet vers le haut. Le vecteur force a une norme de 10 N, une direction verticale et un sens vers le haut.
-=== 2.1 Vecteur directeur d'une droite ===
+=== 2.2 Composition des forces ===
-Une droite (D) admet un **vecteur directeur** <m>vec{u}</m> non nul, tel que si A et B sont deux points quelconques de (D), alors <m>vec{AB}</m> est colinéaire à <m>vec{u}</m>.
+La **force résultante** est la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un objet. Si la force résultante est nulle, l'objet est en équilibre. La méthode du parallélogramme ou de la relation de Chasles s’applique ici aussi.
-=== 2.2 Équation cartésienne d'une droite ===
+***Exemple :*** Deux forces de 5 N et 8 N s'appliquent sur un objet avec un angle de 90° entre elles. La norme de la force résultante est <m>sqrt{5^2 + 8^2} = 9.43 N</m>.
-Si <m>vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</m> est un vecteur directeur de la droite (D) passant par le point A(x<sub>A</sub>, y<sub>A</sub>), alors l'équation cartésienne de (D) s'écrit : <m>b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0</m>.
+==== Chapitre 3 : Vecteurs et vitesse ====
-**Remarque :** Si <m>a = 0</m>, l'équation se simplifie en <m>x = x_A</m>. Si <m>b = 0</m>, l'équation se simplifie en <m>y = y_A</m>.
+=== 3.1 Vecteur vitesse ===
-**Exercice corrigé 2:** Déterminer l'équation cartésienne de la droite (D) passant par A(1, 2) et de vecteur directeur <m>vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}</m>.
+La **vitesse** est un vecteur qui caractérise la variation de la position d'un objet au cours du temps. Sa direction est tangente à la trajectoire, son sens est celui du mouvement et sa norme est la vitesse scalaire, exprimée en mètres par seconde (m/s).
-**Correction:** L'équation cartésienne est donnée par : <m>-1(x - 1) - 2(y - 2) = 0</m>, ce qui se simplifie en <m>-x + 1 - 2y + 4 = 0</m>, soit <m>x + 2y - 5 = 0</m>.
+***Exemple :*** Une voiture roule à 20 m/s vers le nord. Le vecteur vitesse a une norme de 20 m/s, une direction horizontale et un sens vers le nord.
-==== Chapitre 3 : Applications aux problèmes de physique ====
+=== 3.2 Vecteur accélération ===
-Les vecteurs sont omniprésents en physique, notamment pour représenter les forces, les vitesses et les accélérations. L'utilisation des coordonnées permet de simplifier les calculs.
+L'**accélération** est la variation du vecteur vitesse dans le temps. C'est un vecteur qui peut avoir différentes causes : variation de vitesse, variation de direction ou les deux simultanément. Elle est exprimée en mètres par seconde carrée (m/s²).
-***Exemple :*** Deux forces <m>vec{F_1}</m> et <m>vec{F_2}</m> s'appliquent sur un point matériel. <m>vec{F_1} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}</m> N et <m>vec{F_2} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}</m> N. Déterminer les coordonnées de la résultante <m>vec{R} = vec{F_1} + vec{F_2}</m>.
+***Exemple :*** Une voiture accélère de 2 m/s² vers l'avant. Le vecteur accélération a une norme de 2 m/s², une direction horizontale et un sens vers l'avant.
-<m>vec{R} = \begin{pmatrix} 3 + (-1) \\ 4 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}</m> N. La résultante a pour coordonnées <m>\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}</m> N.
+==== Chapitre 4 : Applications et Exercices ====
+Ce chapitre traite d'exemples concrets et d'exercices résolus.
+**Exercice 1:** Une balle est lancée avec une vitesse initiale de 10 m/s à 45° par rapport à l'horizontale. Décomposer ce vecteur vitesse en ses composantes horizontale et verticale.
+**Corrigé guidé:** Il faut utiliser la trigonométrie. La composante horizontale est <m>v_x = 10 cos(45^circ) approx 7.07 m.s^-1</m> et la composante verticale est <m>v_y = 10 sin(45^circ) approx 7.07 m.s^-1</m>.
+**Exercice 2:** Deux forces, <m>vec{F_1}</m> de 5 N vers l'est et <m>vec{F_2}</m> de 10 N vers le nord, agissent sur un objet. Déterminer la force résultante.
+**Corrigé guidé:** On utilise le théorème de Pythagore. La norme de la force résultante est <m>sqrt{5^2 + 10^2} = sqrt{125} approx 11.18 N</m>. Sa direction et son sens se déduisent à l'aide de la trigonométrie (arctan(5/10) = environ 26,6 degrés par rapport à la verticale vers l'Est).
 ==== Résumé ====
-  * **Vecteur:** grandeur physique caractérisée par une direction, un sens et une norme.
+  * **Vecteur déplacement:** Relie un point de départ à un point d'arrivée, caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (distance).
-  * **Coordonnées d'un vecteur:** Dans un repère <m>(O; vec{i}, vec{j})</m>, un vecteur <m>vec{u}</m> a pour coordonnées <m>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</m> si <m>vec{u} = xvec{i} + yvec{j}</m>.
+  * **Déplacement résultant:** Somme vectorielle des déplacements individuels.
-  * **Milieu d'un segment:** Les coordonnées du milieu I d'un segment [AB] sont <m>\begin{pmatrix} (x_A + x_B) / (2) \\ (y_A + y_B) / (2) \end{pmatrix}</m>.
+  * **Force:** Grandeur vectorielle caractérisée par son point d'application, sa direction, son sens et son intensité (mesurée en Newtons).
-  * **Colinéarité:** Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.
+  * **Force résultante:** Somme vectorielle des forces agissant sur un objet.
-  * **Vecteur directeur:** Un vecteur non nul <m>vec{u}</m> est un vecteur directeur d'une droite si tous les vecteurs reliant deux points de la droite sont colinéaires à <m>vec{u}</m>.
+  * **Vitesse:** Vecteur caractérisant la variation de position dans le temps (norme en m/s).
-  * **Equation cartésienne d'une droite:** <m>b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0</m> avec <m>vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</m> vecteur directeur et A(x<sub>A</sub>, y<sub>A</sub>) un point de la droite.
+  * **Accélération:** Vecteur caractérisant la variation de vitesse dans le temps (norme en m/s²).